Elementare Stochastik

Sommersemester 2020

Dozent: Prof. Anton Wakolbinger
Übungskoordinator: Florin Boenkost
Medienkoordinator: Jan Lukas Igelbrink

Vorlesung: 4-stündig
Di 10-12, Fr 10-12
Beginn der Vorlesung: Dienstag, 21. April 2020.

Die Veranstaltung richtet sich primär an Bachelorstudierende der Mathematik im 2. Semester. Für Studierende der Informatik wird im Wintersemester eine Lehrveranstaltung "Stochastik für die Informatik" (4+2 SWS) angeboten. Für Studierende des Lehramts (L3) Mathematik wird die "Stochastik für die Informatik" gleichwertig zur "Elementaren Stochastik" (M5-Sto) angerechnet.

Aktuell: Zweitklausur

Die Zweitklausur findet am Freitag , 9. Oktober 2020
von 13:30 bis 15:15 Uhr in den Hörsälen HZ2 und HZ4 im Hörsaalzentrum des Campus Westend statt.
Im Bachelorstudiengang Mathematik findet die offizielle Anmeldung mit dem Erscheinen bei der Klausur statt. Aufgrund der geltenden Hygienevorschriften muss derzeit allerdings die Raumkapazität strikt im Vorhinein geplant werden. Wenn Sie planen an der Klausur teilzunehmen, ist es für die Sicherstellung Ihrer Teilnahmemöglichkeit unumgänglich, dass Sie sich über die OLAT-Seite der Elementaren Stochastik (inoffiziell) anmelden. Das Anmeldeportal wird vom 16.09. bis zum 06.10.2020 geöffnet sein. wird

Proseminar Stochastik im WiSe 2020/21:
Im WiSe wird - vorzüglich für interessierte Teilnehmer*innen der aktuellen LV - ein Proseminar "Ausgewählte Kapitel des Stochastik" angeboten. Auch weil dieses - so es die Gegebenheiten erlauben - als Präsenzveranstaltung geplant ist, wird die Zahl der Teilnehmer*innen strikt mit 12 beschränkt. Weitere Informationen und den Zugang zur Anmeldung finden Sie auf der OLAT-Seite des Proseminars.

Weitere interessante Lehrveranstaltungen im WiSe 20/21
im Anschluss an unsere Elementare Stochastik:
Statistik 1
Einführung in Theorie und Anwendung des Maschinellen Lernens für Mathematiker

Aufgrund der aktuellen Corona-bedingten Situation wird die Vorlesung in diesem Semester im e-learning-Format gehalten. Wir veröffentlichen die Vorlesungsaufzeichnungen über MediaSite. Diese Aufzeichnungen können Sie über zwei Kanäle ansehen, entweder direkt eingebettet in OLAT oder über das eLearning-Portal der Mathematik . Beide Links finden Sie auf der OLAT-Seite der Elementaren Stochastik. Dort finden Sie auch einen Link, über den Sie die Videos herunterladen können, wenn Sie diese in besserer Auflösung sehen möchten.

Ein in OLAT eingerichtetes Forum bietet die Möglichkeit zum Stellen von Fragen zur Lehrveranstaltung. Wir freuen uns über Fragen und Diskussionen in diesem Forum, und ermuntern Sie dazu! Liegt Ihnen etwas auf dem Herzen und haben Sie inhaltliche Fragen, so stellen Sie diese ruhig dort. Diskutieren Sie Inhalte miteinander oder mit uns. Sie können das unter Angabe Ihres Namens oder - wenn hierfür die Hemmschwelle einmal zu hoch sein sollte - auch anonym machen; technische Infos gibt es auf der OLAT-Seite des Forums. Wenn Sie "[*]" vor den Titel eines neuen Threads schreiben, dann halten wir uns gerne aus der dazu folgenden Diskussion heraus, solange Sie uns nicht explizit dazu einladen. Auch auf das Angebot des Lernzentrums Mathematik weisen wir Sie hin: Über einen Link auf der OLAT-Seite des Lernzentrums können Sie dem Discord-Server des Lernzentrums beitreten und sich dort ggf. zu Lerngruppen zusammenfinden.

Die Vorlesung orientiert sich am Lehrbuch
G. Kersting und A. Wakolbinger, Elementare Stochastik, Birkhäuser, 2. Auflage 2010. Dieses ist über die UB als e-book erhältlich.

Stichworte zum Inhalt:

Verteilungen, Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten, Zufallsvariablen, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Unabhängigkeit, Gesetze der Großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen, mehrstufige Experimente, Markov-Ketten; Elemente der Statistik und der Informationstheorie.

Die Folien zur Vorlesung werden hier im Lauf des Semesters bereitgestellt.

1a0 Einführende Hinweise

V1a Pascals Idee der Rückwärtsinduktion - ein Auftakt der Stochastik
1a1 Vom gerechten Aufteilen eines Spieleinsatzes: Fermat vs. Pascal
1a2 Aussterbew'keit von Verzweigungsprozessen - berechnet à la Pascal
1a3 Ein Widerstreit von Trend und Fluktuationen

V1b Wiederholte rein zufällige Wahl
1b1 Kollisionswahrscheinlicheit
1b2 Approximationen

V2a Diskret uniform verteilte Zufallsvariable
2a1 Rein zufällige Permutationen
2a2 Rein zufällige k aus n
2a3 Uniforme Besetzungen

V3a Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
3a1 Weiterverarbeitung von Zufallsvariablen und Transport von Verteilungen
3a2 Vom Münzwurf zur Binomialverteilung
3a3 Vom Würfeln zur Multinomialverteilung

V3b Der Erwartungswert (von diskreten reellwertigen Verteilungen)
3b1 Der Erwartungswert als gewichteter Mittelwert
3b2 Der Erwartungswert "erlebt'" als empirischer Mittelwert
3b3 Zur Wohldefiniertheit des Erwartungswerts
3b4 Die Transformationsformel für Erwartungswerte
3b5 Linearität des Erwartungswerts
3b6 Beispiele: Binomialverteilung, hypergeometrische Verteilung, Runs

V4a Indikatorvariable
4a1 Ereignisse und ihre Indikatorvariablen
4a2 Das Rechnen mit Ereignissen
4a3 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
4a4 Die Einschluss-Ausschlussformel
4a5 Positivität und Monotonie des Erwartungswerts, Markov-Ungleichung
4a6 *Das Mengenmodell der Wahrscheinlichkeitstheorie

V4b Versuche, Erfolge, Wartezeiten - von Bernoulli zu Poisson und Caratheodory
4b1 Der wiederholte p-Münzwurf
4b2 Wartezeit bis zum ersten Erfolg: die geometrische Verteilung
4b3 Die Exponentialapproximation der geometrischen Verteilung
4b4 Von der Binomial- zur Poissonverteilung
4b5 *Das p-Münzwurfmaß

V5a Zufallsvariable mit Dichten
5a1 Kontinuierlich uniform verteilte Zufallsvariable
5a2 Dichten auf R
5a3 Verteilungsfunktionen
5a4 Transformationen
5a5 Erwartungswerte, Transformationsformel
5a6 *Messbare Mengen, Maße und integerierbare Funktionen

V5b Unabhängigkeit
5b1 Zwei (diskrete) Zufallsvariable
5b2 Produktformel für Erwartungswerte
5b3 Mehrere Zufallsvariable
5b4 Unabhängige Ereignisse
5b5 Unabhängige Teilbeobachtungen
5b6 Indirekte Abhängigkeiten
5b7 *Produktmaße

V6a Varianz und Kovarianz
6a1 Varianz und Standardabweichung
6a2 Varianz der Binomialverteilung
6a3 √n-Gesetz, Chebyshev-Ungl'g und Schwaches Gesetz der Großen Zahlen
6a4 Hilfreiche Formeln; Varianz der Poissonverteilung
6a5 Kovarianz; Summenformel für die Varianz
6a6 Varianz der hypergeometrischen Verteilung

V6b Die Normalverteilung
6b1 Von den Binomialgewichten zur Gaußschen Glockenkurve
6b2 Die Normalverteilungen auf R
6b3 Dichten von Produktform
6b4 Die Standardnormalverteilung auf R² und auf Rⁿ

V7a Der Zentrale Grenzwertsatz
7a1 Die Botschaft
7a2 Ein Beweis
7a3 Ein Erlebnis: Via Monte Carlo zur Glockenkurve
7a4 Warum gerade exp(-kx²)?
7a5 Eine Herleitung der Stirling-Formel aus dem ZGWS

V7b Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade
7b1 Die Varianz-Kovarianz-Ungleichung und die Ungleichung von Cauchy-Schwarz
7b2 Der Korrelationskoeffizient
7b3 Beste affin lineare Vorhersage: die Regressionsgerade
7b4 Korrelation oder Regression: eine Frage der Skala...

V8a Zweistufige Zufallsexperimente
8a1 Übergangswahrscheinlichkeiten
8a2 Die wichtigen Drei und die Multiplikationsformel
8a3 Zerlegung nach der ersten Stufe
8a4 Addieren von unabhängigen Zufallsvariablen - zweistufig aufgefasst

V8b Bedingte Erwartung und bedingte Varianz
8b1 Bedingte Erwartung
8b2 Bedingte Varianz
8b3 Erwartete quadratische Prognosefehler, Optimalität der bedingten Erwartung
8b4 Zerlegung der Varianz nach der ersten Stufe

V9a Bedingte Verteilung und bedingte Wahrscheinlichkeiten
9a1 Bedingte Verteilung
9a2 Bedingte Verteilung - retour: Bayes-Formel
9a3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
9a4 Bedingte Dichten
9a5 Bedingter Erwartungswert als Erwartungswert unter der bedingten Verteilung

V9b Mehrstufige Zufallsexperimente
9b1 Multiplikationsregel und Baumdarstellung
9b2 Die Pólya-Urne
9b3 Markovketten: Definition und Beispiele
9b4 Markovketten: Zerlegung ach dem ersten Schritt

V10a Markovketten I
10a1 Treffwahrscheinlichkeiten: Herleitung
10a2 Treffwahrscheinlichkeiten: Beispiele
10a3 Treffzeiten

V10b Markovketten II
10b1 Transport von Erwartungswerten und von Verteilungen
10b2 Gleichgewichtsverteilungen
10b3 Das Ehrenfestsche Urnenmodell

V11a Bayessche Anteilschätzung und die Pólya-Urne
11a1 "Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht morgen die Sonne auf?"
11a2 Die bedingte Verteilung der zufälligen Erfolgswahrscheinlichkeit
11a3 Der Bayes-Schätzer für die Erfolgswahrscheinlichkeit
11a4 Die Aktualisierung des Bayes-Schätzers aufgefasst als Pólya-Schritt

V11b *Das Starke Gesetzt der Großen Zahlen
11b1 *Die Kolmogorovschen Axiome
11b2 *Starkes Gesetz: Aussage und Beweiskern
11b3 *Beweis des Schlüssel-Lemmas
11b4 *Das Lemma von Borel-Cantelli

V12a **Quellencodierung und Entropie
12a1 **Binärbäume
12a2 **Binäre Präfixcodes
12a3 **Shannon-Codes und Entropie
12a4 **Der Quellencodierungssatz

V12a **Relative Entropie
12b1 **Definition und Interpretation
12b2 **Die Informationsungleichung
12b3 **Entropieschranken
12b4 **Große Abweichungen beim Würfeln

Die mit * gekennzeichnete Vorlesungsteile bilden eine ergänzende Schiene, sie bieten einen Ausblick in die maßtheoretischen Fundierungen der Stochastik. Auch die mit ** gekennzeichneten Vorlesungungsteile sind nicht direkt klausurrelevant, neben Ausblicken in die Informationstheore enthalten sie aber auch deutliche Repetitoriumselemente des vorigen Stoffes. Die anderen Vorlesungsteile können für sich studiert werden; ihr Verständnis bietet eine solide Grundlage zum Lösen der allermeisten Übungsaufgaben und zur Vorbereitung auf die Klausur.

Die letzte Vorlesungswoche wird als Repetitoriumswoche gestaltet. Die Vorlesungen am 14. und 17.07.2020 werden jeweils von 10:15 bis 11:45 Uhr als ZOOM-Videokonferenzen gehalten. Nähere Informationen dazu gibt es ab 10.07.2020 im OLAT-Forum und per E-Mail an die im OLAT eingeschriebenen Hörer*innen der LV.

Übungen: 2-stündig.

Übungsgruppen

Die Anmeldung zu den Übungsgruppen wird ab Mittwoch, 15. April 2020, 8:00 Uhr, bis Sonntag 26.04.2020, 24:00 Uhr, über OLAT hier freigeschaltet.
Das erste Tutorium der Gruppe 7 findet am Freitag, 24.04.2020 statt, die Tuturoien der Gruppen 1-6 beginnen in der Woche danach.
Bis auf Weiteres werden die Tutorien in Form von Videokonferenzen durchgeführt, und zwar für die einzelnen Gruppen - soweit nicht anders verlautbart bzw. in der Gruppe dann intern vereinbart - erst einmal zu den angegebenen Zeiten. In den Tutorien bekommen Sie von Ihrer Tutorin / Ihrem Tutor Tipps zu den Übungsaufgaben, und dort erfolgt auch das Vorrechnen und die Besprechung der Lösungen.

Training und Prüfung:

Ab der ersten Vorlesungswoche wird jeden Dienstag ein Übungsblatt ausgegeben und ins Netz gestellt. Die Abgabefrist für die schriftlichen Lösungen (der mit S gekennzeichneten Aufgaben) ist Freitag 10 Uhr in der nächsten Woche (also gut eine Woche nach Ausgabe des Übungsblattes). Bis auf Weiteres erfolgt die Abgabe der Lösungen und die Übermittlung von deren Korrekturen per Scan und E-mail. Einen Leitfaden für die Abgabe Ihrer S-Aufgaben-Lösungen finden Sie hier. Tipps zu den Übungsaufgaben gibt es in den Tutorien zwischen Ausgabe- und Abgabetermin. In der Woche nach der Abgabe werden die Lösungen in den Tutorien vorgestellt und besprochen.

Übungsblätter: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A30.R

Im OLAT finden Sie eine Videobotschaft zum Thema "Teilnahme an meinem Tutorium - aber wie?'' Alle, die Lust auf Bonuspunkte zur Notenverbesserung haben, sind herzlich eingeladen, einen Blick in dieses Video und auf die technischen Anleitungen zu den Videokonferenzen zu werfen.

Durch aktive Beteiligung in den Tutorien können Übungspunkte erworben werden. Man erhält sie auf der Basis der Lösungen, die man für die schriftlich zu bearbeitenden (auf dem Übungsblatt mit S gekennzeichneten) Übungsaufgaben abgegeben hat, und auch nur für die Aufgaben, bei deren Lösungsbesprechung man im Tutorium (bei der Videokonferenz bzw., sobald die Tutorien dort wieder stattfinden können, im Seminarraum) anwesend ist. Die erreichten Übungspunkte werden am Ende des Semesters in (maximal 12) Bonuspunkte umgerechnet. Bonuspunkte bekommt man nur, wenn man mindestes zweimal im Semester Lösungen von Übungsaufgaben (oder Teile davon) im Tutorium vorstellt. Wer außerdem über das ganze Semester 75% der insgesamt möglichen Übungspunkte erreicht, bekommt die maximale Zahl von 12 Bonuspunkten.

Bei der Klausur können 100 Klausurpunkte erreicht werden. Werden mindestens 45 Klausurpunkte erreicht, gilt die Abschlussprüfung über die Veranstaltung als bestanden. (Nach der Rahmenordnung dürfen Bonuspunkte nicht mehr für das Bestehen der Klausur herangezogen werden.) Die Note errechnet sich dann aus der Summe der Anzahl der erreichten Klausurpunkte plus der Anzahl der erreichten Bonuspunkte.

Als Unterlagen bei den Klausuren sind nur erlaubt: Schreibzeug, ein Taschenrechner (nicht netzwerkfähig), ein einseitig oder doppelseitig per Hand beschriebenes Blatt (A4).

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