Vorlesung
Algebraische und geometrische Kombinatorik
Sommersemester 2025
Aenne Benjes, Jan Stricker
Was
Diese Vorlesung gibt eine Einführung in die Algebraische Kombinatorik, also in das
Studium von diskreten Strukturen mit Hilfe von Algebra. Im Zentrum werden dabei partiell
geordnete Mengen (Posets) und hereditäre Mengensysteme (Simplizialkomplexe,
Hypergraphen) stehen. Zum Beispiel:
- Teilmengen von Kanten eines Graphen, die keinen Kreis enthalten
- Teilmengen von Knoten eines Graphen die paarweise keine Kanten haben (stabile Mengen)
- Triangulierungen von Bällen, Sphären, etc.
- Untergruppen einer gegebenen (endlichen) Gruppe
- Untervektorräume eines gegebenen Vektorraums (über einem endlichen Körper)
Die z.T. in der VL Diskrete Mathematik eingeführten wichtigen Konstruktionen
(Inklusion-Exklusion, Möbius Funktionen, Rangvektoren, flag-f-vectors) lassen sich
algebraisch deuten und handhaben. Wir werden u.a. Simplizialkomplexe durch Monomideale
darstellen und mit Mitteln der kommutativen Algebra (Hilbert-Funktionen, Betti-Zahlen,
Auflösungen etc.) untersuchen. Dabei lernen wir starke Zusammenhänge zwischen den
kombinatorischen, algebraischen und topologischen Eigenschaften der Objekte kennen (z. B.
Reisners Theorem). Falls die Zeit es zulässt machen wir einen kurzen Abstecher in die Welt
der kombinatorischen Hopfalgebren, insbesondere die Malvenuto-Reutenauer Hopfalgebra der
Permutationen und quasisymmetrische Funktionen (sowas wie unendlichen Permutationen)
interessieren.
Wann und wo
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Vorlesung:
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Dienstag
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10 - 12 Uhr
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RM10 901
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Donnerstag
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10 - 12 Uhr
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RM10 901
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Übung:
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Donnerstag
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14 - 16 Uhr
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RM10 901
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Spielregeln
- Es wird Übungsblätter geben. Die Bearbeitung der
Übungsblätter ist nicht verpflichtend aber wird dringend empfohlen.
Eventuell wird es ein Bonussystem geben.
- Abhängig von der Anzahl Teilnehmer wird die Abschlussprüfung
mündlich oder schriftlich sein.
- Es wird Vorlesungsnotizen geben. Die Vorlesungsnotizen sind aber unvollstandig. Es zählt was in der Vorlesung gesagt wird.
- Im Rahmen der Übungen werden wir
Sage verwenden. Um einen möglichst reibungsfreien Ablauf zu ermöglichen,
ist es hilfreich, wenn Sie, soweit möglich, sich Sage auf Ihre Laptops installieren
würden. Alternativ ist es auch möglich, mit einem Account bei Cocalc Sage zu verwenden.
Übungsaufgaben
Was bisher geschah
Vorlesungsnotizen gibt es hier. Die Vorlesungsnotizen sind
potentiell unvollständig und voller Fehler. Sie sind kein Ersatz für die Vorlesung!
Literatur
Lectures on
polytopes. Günter Ziegler
Combinatorics
and commutative algebra. Richard Stanley
Elements of
algebraic topology. James Munkres
Combinatorial
commutative algebra. Ezra Miller, Bernd Sturmfels
Twenty-four
hours of local cohomology. Iyengar et al
Hopf Algebras in Combinatorics.
Darij Grinberg, Victor Reiner
Combinatorial Reciprocity
Theorems. Matthias Beck, Raman Sanyal
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